【已知△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,E,F是BC边上的点,且角EAF=45度,求证:BE的平方+CF的平方=EF的平方】

更新时间：2024-04-27 20:36:15

问题描述：

已知△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,E,F是BC边上的点,且角EAF=45度,求证:BE的平方+CF的平方=EF的平方

赖茂生回答：

　　以题意做图见上, 　　证明：　　把△ACF绕A点旋转90°,使AC和AB重合,设点F旋转到点G；　　则有：△ABG ≌ △ACF , 　　可得：AG = AF ,BG = CF ,∠GAB = ∠CAF , 　　∠ABG = ∠ACF = 45° , 　　则有：∠EAG = ∠EAB+∠GAB 　　= ∠EAB+∠CAF 　　= 90°-∠EAF = 45° = ∠EAF ；　　∵在△EAG和△EAF中,AG = AF ,∠EAG = ∠EAF ,AE为公共边, 　　∴△EAG ≌ △EAF , 　　∴EG = EF 　　∵∠EBG = ∠ABC+∠ABG = 90° , 　　∴△EBG是直角三角形, 　　根据勾股定理有BE²+BG² = EG² , 　　即有：BE²+CF² =EF² .

【已知△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,E,F是BC边上的点,且角EAF=45度,求证:BE的平方+CF的平方=EF的平方】

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